Cylindre oscillant en roulement sans glissement

Examen de vibrations 2021-2022. Exercice 4

Un cylindre de masse 50 Kg est entrain de rouler sans glisser sur le sol. Il est aussi lié à gauche à un ressort de raideur 75 N/m et à droite à un amortisseur de constante 10 N s/m. Le rayon du cylindre est r=0.5 m.

Rappel : Le moment d’inertie d’un cylindre par rapport à l’axe passant par son centre est J=(mr^2)/2. 1 Dans un premier temps on ne tient pas compte de la présence de l’amortisseur. Trouver l’équation de mouvement à partir de l’énergie cinétique et potentielle du système. 2 Ajouter la force due à l’amortisseur en reprenant le terme dû au ressort et en remplaçant k par c et x par dx/dt 3 Retrouver la même équation de mouvement en appliquant le PFD (incluant aussi l’effet de l’amortisseur) 4 Trouver la pulsation propre wn en fonction de k et m, le taux d’amortissement zeta en fonction de c, m et wn et la pulsation amortie wd en fonction de wn et zeta. 5 A l’instant t=0, le cylindre est écarté de sa position d’équilibre de x0=-0.2 m sans vitesse initiale. Trouver le déplacement du système en fonction du temps. L’amortissement est sous-critique 6 Tracer l’allure de la variation du déplacement tenant compte des conditions initiales données.