Répartition des débits d’air dans une mine
Soit la mine suivante constituée de cinq branches et quatre noeuds
Le débit qui entre dans la mine est de 47 m3/s.
Nous allons utiliser la méthode de Hardy Cross pour trouver la répartition des débits dans les différents tronçons.
| Branche | R | Q |
|---|---|---|
| 2 | 0.4 | 30 |
| 3 | 0.6 | 17 |
| 4 | 0.1 | 3 |
| 5 | 0.5 | 27 |
| 6 | 0.7 | 20 |
R est la résistance aéraulique en kg/m7
1er cas
On commence par une distribution arbitraire qui respecte la loi des nœuds (somme des débits arrivant au nœud est égal à la somme sortant du nœud)
Si la répartition est la bonne, la somme des pertes de charges dans une boucle est nulle.
Le nombre de mailles m est donné par m=b-n+1 avec b nombre de branches et n nombre de nœuds.
Dans notre cas m=5-4+1=2
Les mailles choisies sont 243 et 564. On parcourt la maille dans le sens des aiguilles d’une montre, si le débit est dans le sens de parcours il est considéré positif sinon il est négatif.
| Maille | Σ R|Q|Q | 2Σ R|Q| | Correction Δ |
|---|---|---|---|
| 243 | 0.4 30^2 + 0.1 3^2 - 0.6 17^2=187.5 | 2(0.4 30 + 0.1 3 + 0.6 17)=45 | -4.167 |
| 564 | 0.5 27^2 - 0.7 20^2 - 0.1 3^2=83.6 | 2(0.5 27 + 0.7 20 + 0.1 3)=55.6 | -1.504 |
La correction à faire est (Σ R|Q|Q)/(2Σ R|Q|) Les nouveaux débits sont :
| Branche | R | Q |
|---|---|---|
| 2 | 0.4 | 30-4.167=25.833 |
| 3 | 0.6 | 17+4.167=21.167 |
| 4 | 0.1 | 3-4.167+1.504=0,337 |
| 5 | 0.5 | 27-1.504=25.496 |
| 6 | 0.7 | 20+1.504=21.504 |
La branche 4 appartient aux deux mailles donc les deux corrections sont à apporter au débit de cette branche. La correction calculée est à ajouter quand le débit est dans le sens de parcours de la maille, sinon il faut la retrancher.
On répète le processus en calculant les corrections qui correspondant aux nouveaux débits.
| Maille | Σ R|Q|Q | 2Σ R|Q| | Correction Δ |
|---|---|---|---|
| 243 | 0.4 25.833^2 + 0.1 0,337^2 - 0.6 21.167^2=-1,861 | 2(0.4 25.833 + 0.1 0,337 + 0.6 21.167)= 46,134 | 0.04 |
| 564 | 0.5 25.496^2 - 0.7 21.504^2 - 0.1 0,337^2=1,339 | 2(0.5 25.496 + 0.7 21.504 + 0.1 0,337)=55,669 | -0,024 |
Remarquer que les corrections sont beaucoup plus faibles.
Les nouveaux débits sont :
| Branche | R | Q |
|---|---|---|
| 2 | 0.4 | 25.833+0.04=25.874 |
| 3 | 0.6 | 21.167-0.04=21,126 |
| 4 | 0.1 | 0,337+0.04+0.024=0,401 |
| 5 | 0.5 | 25.496-0.024=25.472 |
| 6 | 0.7 | 21.504+0.024=21.528 |
| Maille | Σ R|Q|Q | 2Σ R|Q| | Correction Δ |
|---|---|---|---|
| 243 | 0.4 25.8742 + 0.1 0,4012 - 0.6 21.1262=0,002 | 2(0.4 25.874 + 0.1 0,401 + 0.6 21.126)= 46,131 | -0,00004 |
| 564 | 0.5 25.8742 - 0.7 21.5282 - 0.1 0,4012=-0,003 | 2(0.5 25.874 + 0.7 21.528 + 0.1 0,401)=55,691 | 0,0001 |
| Branche | R | Q |
|---|---|---|
| 2 | 0.4 | 25.874 |
| 3 | 0.6 | 21,126 |
| 4 | 0.1 | 0,401 |
| 5 | 0.5 | 25.472 |
| 6 | 0.7 | 21.528 |
Résumé de la méthode :
| Branche | R | Q | it 1 | it 2 | it 3 | it 4 | it 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 0.4 | 30 | 25,833 | 25,874 | 25,874 | 25,874 | 25,874 |
| 3 | 0.6 | 17 | 21,167 | 21,126 | 21,126 | 21,126 | 21,126 |
| 4 | 0.1 | 3 | 0,337 | 0,401 | 0,401 | 0,401 | 0,401 |
| 5 | 0.5 | 27 | 25,496 | 25,472 | 25,472 | 25,472 | 25,472 |
| 6 | 0.7 | 20 | 21,504 | 21,528 | 21,528 | 21,528 | 21,528 |
| Maille 1 | Σ R|Q|Q | 187,500 | -1,861 | 0,002 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
| 2Σ R |Q| | 45,000 | 46,134 | 46,131 | 46,131 | 46,131 | 46,131 | |
| Δ | -4,167 | 0,040 | -0,00004 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | |
| Maille 2 | Σ R|Q|Q | 83,600 | 1,339 | -0,003 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
| 2Σ R |Q| | 55,600 | 55,669 | 55,691 | 55,691 | 55,691 | 55,691 | |
| Δ | -1,504 | -0,024 | 0,0001 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
2eme cas
Que se passe-t-il si on change les débits initiaux et considérer un cas invraisemblable ou tout le débit qui entre passe dans la branche 2 puis 5
| Branche | R | Q | it 1 | it 2 | it 3 | it 4 | it 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 0.4 | 47 | 23,500 | 25,850 | 25,874 | 25,874 | 25,874 |
| 3 | 0.6 | 0 | 23,500 | 21,150 | 21,126 | 21,126 | 21,126 |
| 4 | 0.1 | 0 | 0,000 | 0,392 | 0,401 | 0,401 | 0,401 |
| 5 | 0.5 | 47 | 23,500 | 25,458 | 25,472 | 25,472 | 25,472 |
| 6 | 0.7 | 0 | 23,500 | 21,542 | 21,528 | 21,528 | 21,528 |
| Maille 1 | Σ R|Q|Q | 883,600 | -110,450 | -1,089 | -0,001 | 0,000 | 0,000 |
| 2Σ R |Q| | 37,600 | 47,000 | 46,138 | 46,131 | 46,131 | 46,131 | |
| Δ | -23,500 | 2,350 | 0,024 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | |
| Maille 2 | Σ R|Q|Q | 1104,500 | -110,450 | -0,782 | -0,002 | 0,000 | 0,000 |
| 2Σ R |Q| | 47,000 | 56,400 | 55,695 | 55,691 | 55,691 | 55,691 | |
| Δ | -23,500 | 1,958 | 0,014 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
Nous avons convergé vers la même solution.
3eme cas
Nous allons essayer un scénario qui n’est pas de tout logique. Un débit de 47 m3/s arrive dans la mine, dans la branche 2 un débit supérieur (de 57 m3/s). Donc un débit de 10 m3/s passes dans le sens inverse dans la branche 3. On suppose aussi que le débit est nul dans la branche 4.
| Branche | R | Q | it 1 | it 2 | it 3 | it 4 | it 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 0.4 | 57 | 33,396 | 25,620 | 25,873 | 25,874 | 25,874 |
| 3 | 0.6 | 10 | -13,604 | -21,380 | -21,127 | -21,126 | -21,126 |
| 4 | 0.1 | 0 | 0,262 | 0,364 | 0,401 | 0,401 | 0,401 |
| 5 | 0.5 | 57 | 33,134 | 25,257 | 25,472 | 25,472 | 25,472 |
| 6 | 0.7 | 10 | -13,866 | -21,743 | -21,528 | -21,528 | -21,528 |
| Maille 1 | Σ R|Q|Q | 1359,600 | 335,076 | -11,678 | -0,028 | 0,000 | 0,000 |
| 2Σ R |Q| | 57,600 | 43,094 | 46,225 | 46,131 | 46,131 | 46,131 | |
| Δ | -23,604 | 0,253 | 0,001 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | |
| Maille 2 | Σ R|Q|Q | 1694,500 | 414,328 | -12,003 | -0,028 | 0,000 | 0,000 |
| 2Σ R |Q| | 71,000 | 52,599 | 55,770 | 55,691 | 55,691 | 55,691 | |
| Δ | -23,866 | -7,877 | 0,215 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
Remarquer que les débits dans les branches 3 et 6 sont négatifs. Cela veut dire que la supposition du départ est fausse.
Ce qui donne la distribution
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