Calcul des valeurs propres et vecteurs propres sur Excel
On voudrait calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice suivante sur Excel qui ne comporte aucune fonction native pour faire ce calcul.
\$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0\\-1 & 2 & -1\\0 & -1 & 2\end{bmatrix}\$
Son polynôme caractéristique est est \$det( A - \lambda I)\$ qui donne \$(2 - \lambda)(2 - \sqrt{2} - \lambda)(2 + \sqrt{2} - \lambda)\$ .
Théoriquement les valeurs propres sont \$\lambda_1=2 - \sqrt{2}=0.58578644\$, \$\lambda_2=2 \$ et \$\lambda_3=2 + \sqrt{2}=3.41421356\$
Et les vecteurs propres sont :
\$\begin{Bmatrix} 1 \\ \sqrt{2}\\1\end{Bmatrix}\$, \$\begin{Bmatrix} 1 \\0\\-1\end{Bmatrix}\$ et \$\begin{Bmatrix} 1 \\-\sqrt{2}\\1\end{Bmatrix}\$
Pour l =3, l’algorithme converge vers l = 3,41421511.
Sur Excel, La formule à introduire est =-PRODUITMAT(INVERSEMAT(B10:C11);A3:A4)
PRODUITMAT calcule le produit de deux matrices
INVERSEMAT calcule l’inverse d’une matrice.
\$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0\\-1 & 2 & -1\\0 & -1 & 2\end{bmatrix}\$
Son polynôme caractéristique est est \$det( A - \lambda I)\$ qui donne \$(2 - \lambda)(2 - \sqrt{2} - \lambda)(2 + \sqrt{2} - \lambda)\$ .
Théoriquement les valeurs propres sont \$\lambda_1=2 - \sqrt{2}=0.58578644\$, \$\lambda_2=2 \$ et \$\lambda_3=2 + \sqrt{2}=3.41421356\$
Et les vecteurs propres sont :
\$\begin{Bmatrix} 1 \\ \sqrt{2}\\1\end{Bmatrix}\$, \$\begin{Bmatrix} 1 \\0\\-1\end{Bmatrix}\$ et \$\begin{Bmatrix} 1 \\-\sqrt{2}\\1\end{Bmatrix}\$
Procédure
1ère méthode
On peut créer deux colonnes, une pour l (de 0 à 4) et l’autre pour \$ det( A - \lambda I)\$
Puis on trace
On peut voir ou se trouvent les trois
zéros de la fonction tracée. Pour plus de précision on peut diminuer le pas autour
de chaque solution jusqu’à obtenir la précision voulue.
2ème méthode
On commence par renseigner la matrice A
sur Excel. Chaque élément de la matrice dans une cellule séparée.
On prévoit une cellule pour l,
une plage pour \$ A - \lambda I\$ et on calcule \$det( A - \lambda I) \$ en utilisant la fonction DETERMAT
Nous allons ensuite utiliser l’outil valeur cible
Aller dans l’onglet DONNEES, cliquer sur Analyse scénarios
puis valeur cible
On voudrait trouver la valeur de l (cellule à modifier) qui rend le déterminant (Cellule à
définir) nul (valeur à atteindre)
En cliquant sur le bouton OK, Excel trouve une des trois
solutions.
Pour l =0, l’algorithme converge vers l =0,585753691487601.
Pour l =1.5,
l’algorithme converge vers l =
1,99999867564629.
Calcul des vecteurs propres
Le vecteur propre est déterminé à une constance près. Choisissons le vecteur propre pour que le premier élément soit égal à 1. Le vecteur propre est donc sous forme \$ {u}=\begin{Bmatrix} 1\\u_2\\u_3\end{Bmatrix} \$ et est solution de l’équation \$ A{u} = \lambda_i {u}\$ avec \$\lambda_i\$ une des trois valeurs propres.
Les deux éléments inconnus du vecteur propre sont donc solution de l’équation \$ \begin{bmatrix} a_{22} - \lambda_i & a_{23} \\ a_{23} & a_{33} - \lambda_i \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}u_2\\u_3\end{Bmatrix}=-\begin{Bmatrix} a_{12}\\a_{13}\end{Bmatrix}\$.
Donc \$\begin{Bmatrix} u_2\\u_3\end{Bmatrix}=-\begin{bmatrix} a_{22} - \lambda_i & a_{23} \\ a_{23} & a_{33} - \lambda_i \end{bmatrix}^{-1}\begin{Bmatrix} a_{12}\\a_{13}\end{Bmatrix}\$
Les deux éléments inconnus du vecteur propre sont donc solution de l’équation \$ \begin{bmatrix} a_{22} - \lambda_i & a_{23} \\ a_{23} & a_{33} - \lambda_i \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}u_2\\u_3\end{Bmatrix}=-\begin{Bmatrix} a_{12}\\a_{13}\end{Bmatrix}\$.
Sur Excel, La formule à introduire est =-PRODUITMAT(INVERSEMAT(B10:C11);A3:A4)
PRODUITMAT calcule le produit de deux matrices
INVERSEMAT calcule l’inverse d’une matrice.
On obtient les trois vecteurs propres
Commentaires
Concernant les valeurs propres, cette méthode ne permet pas de calculer les valeurs propres lorsque celles-ci sont complexes
Pour les vecteurs propres, poser la première composante du vecteur propre égale à 1 peut ne pas marcher lorsque cette composante doit être égale à 0