Vibration libre d’un système masse ressort sur Working Model

Nous allons commencer par Construire le modèle du système masse ressort

Ajouter à votre fichier vierge sur Working Model un carré (square) puis y ajouter un point carré (square point element) au milieu. Le carré représente la masse m

Double cliquer sur le carré et renseigner la masse de 1 kg

On voudrait que la masse se déplace verticalement, ajouter une glissière (keyed slot join) qui passe par le point carré.

Ajouter un ressort et un amortisseur

On voudrait que la période propre soit de 1 s. Donc  renseigner la valeur de k de 39.48 N/m

Vérifier que l’amortissement est visqueux (Force proportionnelle à la vitesse). Introduire une valeur du coefficient de proportionnalité de .126 qui correspond à un taux d’amortissement de 0.01

Pour tracer la variation de la position verticale de la masse en fonction du temps, cliquer sur la masse puis Choisir dans le menu Measure / Position / Y Graph

Lancer la simulation en appuyant sur le bouton Run

En double cliquant sur la courbe, on peut choisir les maximums et minimums de l’abscisse et de l’ordonnée afin de mieux cadrer la courbe. On remarque que la réponse du système est bien une oscillation amortie.

Etude de la réponse du système à une vitesse initiale

Le système doit être initialement en équilibre. Lancer la simulation et attendre que la masse arrive à l’état d’équilibre (on peut accélérer la vitesse de convergence en augmentant l’amortissement). Cliquer sur la flèche encadrée sur le schéma suivant de façon à montrer la valeur de la position de la masse.

Noter la valeur de la position qui correspond à la position d’équilibre de la masse.

Imposer cette valeur comme valeur initiale en double cliquant sur la masse et en changeant la valeur de y

Vérifier que la masse ne bouge plus quand on lance la simulation.

Nous allons maintenant imposer une vitesse initiale à la masse. Renseigner le champ Vy

La réponse d’un système masse ressort soumis à un déplacement nul et une vitesse initiale v0 est donnée par :

Cliquer sur le graphe puis dans la fenêtre de propriétés, ajouter la courbe théorique yth qui a comme expression : exp(-.01*2*pi*time)*sin(2*pi*sqrt(1-0.01^2)*time)/(2*pi*sqrt(1 - .01^2))

Puisque la réponse est par rapport à la position d’équilibre, nous avons changé l’expression de y de façon à avoir y=0 à l’équilibre

On obtient les courbes suivantes

On remarque que y et yth collent parfaitement

Décrément logarithmique

Nous allons essayer de retrouver la valeur du taux d’amortissement à partir de la courbe de la réponse en utilisant le décrément logarithmique.

Pour plus de précision, ajouter une autre mesure de la position relative de la masse et noter cette valeur qui correspond au premier maximum de la courbe

Dans mon case je trouve x1=0.156

Noter la position de la masse après 5 oscillations

Dans mon cas, x6=0.114

Le décrément logarithmique est donné par 

Et lié au taux d’amortissement par

Si le taux d’amortissement est faible, l’équation précédente se simplifie et donne

Dans notre cas on trouve delta= 0.0627

Et zeta1= 0.0099835 et quand l’amortissement est considéré comme faible zeta2= 0.009984

Ce qui donne une erreur relative en pourcent respectivement de -0.164 % et -0.159

Effet de l’amortissement

Dans cette partie nous allons tracer la courbe dans le pan de phase (s=f(v))

Changer le graphe précédent à fin qu’il trace la position (sur l’axe des abscisses) et vy suivant l’axe des ordonnées

Annuler le coefficient d’amortissement (dans ce cas la réponse est harmonique et on obtient une ellipse dans le plan de phase).  Lancer la simulation et vérifier que l’on obtient bien une ellipse.

A quoi ressemble cette courbe pour le coefficient d’amortissement précédent ?

Et pour un taux d’amortissement de 0.2

Et pour un taux d’amortissement sur-critique de 1.2