Répartition des débits d’air dans une mine


Soit la mine suivante constituée de cinq branches et quatre noeuds


Le débit qui entre dans la mine est de 47 m3/s.

Nous allons utiliser la méthode de Hardy Cross pour trouver la répartition des débits dans les différents tronçons.

Branche R Q
2 0.4 30
3 0.6 17
4 0.1 3
5 0.5 27
6 0.7 20

R est la résistance aéraulique en kg/m7

1er cas

On commence par une distribution arbitraire qui respecte la loi des nœuds (somme des débits arrivant au nœud est égal à la somme sortant du nœud)

Si la répartition est la bonne, la somme des pertes de charges dans une boucle est nulle.

Le nombre de mailles m est donné par m=b-n+1 avec b nombre de branches et n nombre de nœuds.
Dans notre cas m=5-4+1=2

Les mailles choisies sont 243 et 564. On parcourt la maille dans le sens des aiguilles d’une montre, si le débit est dans le sens de parcours il est considéré positif sinon il est négatif.

Maille Σ R|Q|Q 2Σ R|Q| Correction Δ
243 0.4 30^2 + 0.1 3^2 - 0.6 17^2=187.5 2(0.4 30 + 0.1 3 + 0.6 17)=45 -4.167
564 0.5 27^2 - 0.7 20^2 - 0.1 3^2=83.6 2(0.5 27 + 0.7 20 + 0.1 3)=55.6 -1.504

La correction à faire est (Σ R|Q|Q)/(2Σ R|Q|) Les nouveaux débits sont :

Branche R Q
2 0.4 30-4.167=25.833
3 0.6 17+4.167=21.167
4 0.1 3-4.167+1.504=0,337
5 0.5 27-1.504=25.496
6 0.7 20+1.504=21.504

La branche 4 appartient aux deux mailles donc les deux corrections sont à apporter au débit de cette branche. La correction calculée est à ajouter quand le débit est dans le sens de parcours de la maille, sinon il faut la retrancher.

On répète le processus en calculant les corrections qui correspondant aux nouveaux débits.

Maille Σ R|Q|Q 2Σ R|Q| Correction Δ
243 0.4 25.833^2 + 0.1 0,337^2 - 0.6 21.167^2=-1,861 2(0.4 25.833 + 0.1 0,337 + 0.6 21.167)= 46,134 0.04
564 0.5 25.496^2 - 0.7 21.504^2 - 0.1 0,337^2=1,339 2(0.5 25.496 + 0.7 21.504 + 0.1 0,337)=55,669 -0,024

Remarquer que les corrections sont beaucoup plus faibles.

Les nouveaux débits sont :

Branche R Q
2 0.4 25.833+0.04=25.874
3 0.6 21.167-0.04=21,126
4 0.1 0,337+0.04+0.024=0,401
5 0.5 25.496-0.024=25.472
6 0.7 21.504+0.024=21.528

Maille Σ R|Q|Q 2Σ R|Q| Correction Δ
243 0.4 25.8742 + 0.1 0,4012 - 0.6 21.1262=0,002 2(0.4 25.874 + 0.1 0,401 + 0.6 21.126)= 46,131 -0,00004
564 0.5 25.8742 - 0.7 21.5282 - 0.1 0,4012=-0,003 2(0.5 25.874 + 0.7 21.528 + 0.1 0,401)=55,691 0,0001


On peut considérer que le processus a convergé et que les débits définitifs sont :

Branche R Q
2 0.4 25.874
3 0.6 21,126
4 0.1 0,401
5 0.5 25.472
6 0.7 21.528

Résumé de la méthode :

Branche R Q it 1 it 2 it 3 it 4 it 5
2 0.4 30 25,833 25,874 25,874 25,874 25,874
3 0.6 17 21,167 21,126 21,126 21,126 21,126
4 0.1 3 0,337 0,401 0,401 0,401 0,401
5 0.5 27 25,496 25,472 25,472 25,472 25,472
6 0.7 20 21,504 21,528 21,528 21,528 21,528
Maille 1 Σ R|Q|Q 187,500 -1,861 0,002 0,000 0,000 0,000
2Σ R |Q| 45,000 46,134 46,131 46,131 46,131 46,131
Δ -4,167 0,040 -0,00004 0,000 0,000 0,000
Maille 2 Σ R|Q|Q 83,600 1,339 -0,003 0,000 0,000 0,000
2Σ R |Q| 55,600 55,669 55,691 55,691 55,691 55,691
Δ -1,504 -0,024 0,0001 0,000 0,000 0,000

2eme cas

Que se passe-t-il si on change les débits initiaux et considérer un cas invraisemblable ou tout le débit qui entre passe dans la branche 2 puis 5



Branche R Q it 1 it 2 it 3 it 4 it 5
2 0.4 47 23,500 25,850 25,874 25,874 25,874
3 0.6 0 23,500 21,150 21,126 21,126 21,126
4 0.1 0 0,000 0,392 0,401 0,401 0,401
5 0.5 47 23,500 25,458 25,472 25,472 25,472
6 0.7 0 23,500 21,542 21,528 21,528 21,528
Maille 1 Σ R|Q|Q 883,600 -110,450 -1,089 -0,001 0,000 0,000
2Σ R |Q| 37,600 47,000 46,138 46,131 46,131 46,131
Δ -23,500 2,350 0,024 0,000 0,000 0,000
Maille 2 Σ R|Q|Q 1104,500 -110,450 -0,782 -0,002 0,000 0,000
2Σ R |Q| 47,000 56,400 55,695 55,691 55,691 55,691
Δ -23,500 1,958 0,014 0,000 0,000 0,000

Nous avons convergé vers la même solution.

 3eme cas 

Nous allons essayer un scénario qui n’est pas de tout logique. Un débit de 47 m3/s arrive dans la mine, dans la branche 2 un débit supérieur (de 57 m3/s). Donc un débit de 10 m3/s passes dans le sens inverse dans la branche 3. On suppose aussi que le débit est nul dans la branche 4.




Branche R Q it 1 it 2 it 3 it 4 it 5
2 0.4 57 33,396 25,620 25,873 25,874 25,874
3 0.6 10 -13,604 -21,380 -21,127 -21,126 -21,126
4 0.1 0 0,262 0,364 0,401 0,401 0,401
5 0.5 57 33,134 25,257 25,472 25,472 25,472
6 0.7 10 -13,866 -21,743 -21,528 -21,528 -21,528
Maille 1 Σ R|Q|Q 1359,600 335,076 -11,678 -0,028 0,000 0,000
2Σ R |Q| 57,600 43,094 46,225 46,131 46,131 46,131
Δ -23,604 0,253 0,001 0,000 0,000 0,000
Maille 2 Σ R|Q|Q 1694,500 414,328 -12,003 -0,028 0,000 0,000
2Σ R |Q| 71,000 52,599 55,770 55,691 55,691 55,691
Δ -23,866 -7,877 0,215 0,000 0,000 0,000

Remarquer que les débits dans les branches 3 et 6 sont négatifs. Cela veut dire que la supposition du départ est fausse.

Ce qui donne la distribution


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