Calcul des valeurs propres et vecteurs propres sur Excel

On voudrait calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice suivante sur Excel qui ne comporte aucune fonction native pour faire ce calcul.

\$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0\\-1 & 2 & -1\\0 & -1 & 2\end{bmatrix}\$

Son polynôme caractéristique est est \$det( A - \lambda I)\$ qui donne \$(2 - \lambda)(2 - \sqrt{2} - \lambda)(2 + \sqrt{2} - \lambda)\$ .

Théoriquement les valeurs propres sont \$\lambda_1=2 - \sqrt{2}=0.58578644\$, \$\lambda_2=2 \$ et \$\lambda_3=2 + \sqrt{2}=3.41421356\$

Et les vecteurs propres sont :

\$\begin{Bmatrix} 1 \\ \sqrt{2}\\1\end{Bmatrix}\$, \$\begin{Bmatrix} 1 \\0\\-1\end{Bmatrix}\$ et \$\begin{Bmatrix} 1 \\-\sqrt{2}\\1\end{Bmatrix}\$

Procédure

1ère méthode

On peut créer deux colonnes, une pour l (de 0 à 4) et l’autre pour \$ det( A - \lambda I)\$

Puis on trace \$det( A - \lambda I) = f(\lambda)\$

On peut voir ou se trouvent les trois zéros de la fonction tracée. Pour plus de précision on peut diminuer le pas autour de chaque solution jusqu’à obtenir la précision voulue.

2ème méthode

On commence par renseigner la matrice A sur Excel. Chaque élément de la matrice dans une cellule séparée.

On prévoit une cellule pour l, une plage pour \$ A - \lambda I\$ et on calcule \$det( A - \lambda I) \$ en utilisant la fonction DETERMAT

Nous allons ensuite utiliser l’outil valeur cible
Aller dans l’onglet DONNEES, cliquer sur Analyse scénarios puis valeur cible

On voudrait trouver la valeur de l (cellule à modifier) qui rend le déterminant (Cellule à définir) nul (valeur à atteindre)

En cliquant sur le bouton OK, Excel trouve une des trois solutions.
Pour l =0, l’algorithme converge vers l =0,585753691487601.


Pour l =1.5, l’algorithme converge vers l = 1,99999867564629. 


Pour l =3, l’algorithme converge vers l = 3,41421511.




Calcul des vecteurs propres


Le vecteur propre est déterminé à une constance près. Choisissons le vecteur propre pour que le premier élément soit égal à 1. Le vecteur propre est donc sous forme \$ {u}=\begin{Bmatrix} 1\\u_2\\u_3\end{Bmatrix} \$ et est solution de l’équation \$ A{u} = \lambda_i {u}\$ avec \$\lambda_i\$ une des trois valeurs propres.
Les deux éléments inconnus du vecteur propre sont donc solution de l’équation \$ \begin{bmatrix} a_{22} - \lambda_i & a_{23} \\ a_{23} & a_{33} - \lambda_i \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}u_2\\u_3\end{Bmatrix}=-\begin{Bmatrix} a_{12}\\a_{13}\end{Bmatrix}\$.

Donc \$\begin{Bmatrix} u_2\\u_3\end{Bmatrix}=-\begin{bmatrix} a_{22} - \lambda_i & a_{23} \\ a_{23} & a_{33} - \lambda_i \end{bmatrix}^{-1}\begin{Bmatrix} a_{12}\\a_{13}\end{Bmatrix}\$

Sur Excel, La formule à introduire est =-PRODUITMAT(INVERSEMAT(B10:C11);A3:A4)


PRODUITMAT calcule le produit de deux matrices


INVERSEMAT calcule l’inverse d’une matrice.

On obtient les trois vecteurs propres




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