aannaque's blog

We would like to compute the eigenvalues and eigenvectors of the following matrix in Excel. BTW Excel does  not have any native function that can do that.

\$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0\\-1 & 2 & -1\\0 & -1 & 2\end{bmatrix}\$

The characteristic polynomial of this matrix is : \$det( A - \lambda I)\$ qui donne \$(2 - \lambda)(2 - \sqrt{2} - \lambda)(2 + \sqrt{2} - \lambda)\$ .

The analytical eigenvalues solutions are: \$\lambda_1=2 - \sqrt{2}=0.58578644\$, \$\lambda_2=2 \$ and \$\lambda_3=2 + \sqrt{2}=3.41421356\$

The eigenvectors are  :

\$\begin{Bmatrix} 1 \\ \sqrt{2}\\1\end{Bmatrix}\$, \$\begin{Bmatrix} 1 \\0\\-1\end{Bmatrix}\$ and  \$\begin{Bmatrix} 1 \\-\sqrt{2}\\1\end{Bmatrix}\$

Procedure
1st method
We start by creating two columns, one for  l (from  0 to 4) and the other for  \$ det( A - \lambda I)\$
Then we plot  \$det( A - \lambda I) = f(\lambda)\$
We can clearly see the three zeros of the plotted function.  Eventually we can decrease the step around each solu…

On voudrait calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice suivante sur Excel qui ne comporte aucune fonction native pour faire ce calcul.

\$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0\\-1 & 2 & -1\\0 & -1 & 2\end{bmatrix}\$

Son polynôme caractéristique est est \$det( A - \lambda I)\$ qui donne \$(2 - \lambda)(2 - \sqrt{2} - \lambda)(2 + \sqrt{2} - \lambda)\$ .

Théoriquement les valeurs propres sont \$\lambda_1=2 - \sqrt{2}=0.58578644\$, \$\lambda_2=2 \$ et \$\lambda_3=2 + \sqrt{2}=3.41421356\$

Et les vecteurs propres sont :

\$\begin{Bmatrix} 1 \\ \sqrt{2}\\1\end{Bmatrix}\$, \$\begin{Bmatrix} 1 \\0\\-1\end{Bmatrix}\$ et \$\begin{Bmatrix} 1 \\-\sqrt{2}\\1\end{Bmatrix}\$

Procédure
1ère méthode
On peut créer deux colonnes, une pour l (de 0 à 4) et l’autre pour \$ det( A - \lambda I)\$
Puis on trace \$det( A - \lambda I) = f(\lambda)\$
On peut voir ou se trouvent les trois zéros de la fonction tracée. Pour plus de précision on peut diminuer le pas autour de chaqu…